Равнобедренный треугольник :: Центры вписанной и описанной окружностей равнобедренного треугольника совпадают. - 15 Февраля 2014

Равнобедренный треугольник

Ключевые слова: треугольник, равнобедренный, боковая сторона, основание, вершина

Равнобедренный треугольник — треугольник, в котором две стороны равны между собой.

По определению, правильный треугольник также является равнобедренным, но обратное, вообще говоря, неверно.

Свойства

Углы, противолежащие равным сторонам равнобедренного треугольника, равны между собой.
Также равны биссектрисы, медианы и высоты, проведённые из этих углов.
Биссектриса, медиана и высота, проведенные к основанию совпадают между собой.
Центры вписанной и описанной окружностей лежат на этой линии.
Углы, противолежащие равным сторонам, всегда острые (следует из их равенства).

Признаки

Два угла треугольника равны.
Высота совпадает с медианой.
Высота совпадает с биссектрисой.
Биссектриса совпадает с медианой.

Пусть a — длина двух равных сторон равнобедренного треугольника, b — длина третьей стороны, $$\alpha, \beta$$ — соответствующие углы, R — радиус описанной окружности, r — радиус вписанной окружности.

Соотношения для сторон:

$$a = 2R \cdot sin\alpha, b = 2R \cdot sin\beta$$ (теорема синусов );

$$a = \frac{b}{2 cos\alpha}$$ (следствие теоремы косинусов);

$$b = a\sqrt{2(1 - cos\beta)}$$ (следствие теоремы косинусов);

$$b = 2a \cdot cos\alpha$$ (теорема о проекциях).

Соотношения для углов:
$$\alpha = \frac{\pi - \beta}{2}$$;

$$\beta = \pi - 2\alpha$$;

$$\alpha = arcsin\frac{a}{2R}, \beta = arcsin\frac{b}{2R}$$.

Соотношения для периметра:
P = 2a + b (по определению);

$$P = 2R(2sin \alpha + sin\beta)$$.

Соотношения для площади:

$$S = \frac{1}{2}a^{2}sin\beta = \frac{1}{2}absin \alpha$$;

$$S = \frac{1}{2}b\sqrt{a^{2}- \frac{1}{4}b^{2}}$$ (формула Герона).