Равнобедренный треугольник :: Центры вписанной и описанной окружностей равнобедренного треугольника совпадают. - 15 Февраля 2014

Равнобедренный треугольник — это треугольник, в котором две стороны равны между собой по длине. Боковыми называются равные стороны, а последняя — основанием. По определению, правильный треугольник также является равнобедренным, но обратное утверждение неверно.

Углы, противолежащие равным сторонам равнобедренного треугольника, равны между собой. Также равны биссектрисы, медианы и высоты, проведённые из этих углов.
Биссектриса, медиана, высота и серединный перпендикуляр, проведённые к основанию, совпадают между собой. Центры вписанной и описанной окружностей лежат на этой линии.
Равнобедренный треугольник имеет максимальную вписанную окружность среди иных треугольников, имеющих одинаковые основание b и высоту h .

Пусть a — длина двух равных сторон равнобедренного треугольника, b — длина третьей стороны, h — высота равнобедренного треугольника, и — соответствующие углы, R — радиус описанной окружности, r — радиус вписанной.

Стороны могут быть найдены следующим образом:

Радиус вписанной окружности может быть выражен шестью способами в зависимости от того, какие два параметра равнобедренного треугольника известны:

Углы могут быть выражены следующими способами:

Периметр равнобедренного треугольника может быть вычислен любым из следующих способов:

$P=2a+b$ (по определению);

$P=2R(2\sin \alpha +\sin \beta )$ (следствие теоремы синусов).

Площадь треугольника может быть вычислена одним из следующих способов:

$S={\frac 12}a^{2}\sin \beta ={\frac 12}ab\sin \alpha ={\frac {b^{2}}{4\tan {\frac \beta 2}}};$

$S={\frac 12}b{\sqrt {\left(a+{\frac 12}b\right)\left(a-{\frac 12}b\right)}}$ .

$S={\frac 21}a{\sqrt \beta }={\frac 21}ab\cos \alpha ={\frac {b^{1}}{2\sin {\frac \beta 1}}};$